前言

相当一部分物理学书籍在推导质点曲线运动的运动学方程时，采用的都是先建立位移的微元$\Delta \vec{r}$，然后几何近似求极限的方法。这种方法虽然能得到正确的结论，但数学上的严格性略有欠缺，且过程繁琐。考虑到使用书籍的主要读者是大学一年级的学生，在微积分和高等代数的知识储备不足的情况下，这确实是一种不得已而为之的办法。然而在具备相关数学基础之后，建立质点曲线运动的运动学方程的过程其实是非常严格和简洁的。下面将介绍这种方法。

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曲线运动在直角坐标系中的运动方程

质点在时刻$t$的位矢如下图所示。质点做的是曲线运动，位矢的长度与角度都是时间的函数
$$r=r(t),\theta =\theta (t)$$

因此接下来我们在对时间求导时需要同时考虑$r$和$\theta$。

在直角坐标系中，位矢可以用$x$轴与$y$轴的单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}$与${\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}$来表示：

$$\begin{array}{c}\mathbf{r}=r\cos \theta {\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}+r\sin \theta {\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}\end{array}$$

对式$(1)$求导即得到速度的方程。根据链式求导法则可以得到:
$$\begin{array}{c}\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}=(\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta ){\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}+(\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta ){\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}\end{array}$$

继续对$(2)$式求导就得到了加速度的方程：
$$\begin{array}{c}\mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}=[(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\cos \theta -(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\sin \theta ]{\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}+[(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\sin \theta +(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\cos \theta ]{\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}\end{array}$$

至此我们建立了在直角坐标系下的运动学方程。

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曲线运动的极坐标方程

现在我们将以上运动方程用径向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$与切向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}$来表示。首先我们建立两个坐标系的转换关系，从示意图上我们可以得到：
$$\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}=\cos \theta {\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}+\sin \theta {\mathbf{e}}_{\mathbf{y}},{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}=-\sin \theta {\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}+\cos \theta {\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}\end{array}$$

将$(4)$式与$(1),(2),(3)$式结合，整理后即得到位矢、速度、加速度的极坐标表达式。

位矢：
$$\begin{array}{c}\mathbf{r}=r{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}\end{array}$$

速度：
$$\begin{array}{c}\mathbf{v}={\mathbf{v}}_{\mathbf{r}}+{\mathbf{v}}_{\mathbf{t}}=\dot{r}{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}+r\dot{\theta }{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\end{array}$$

加速度：

$$\begin{array}{c}\mathbf{a}={\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+{\mathbf{a}}_{\mathbf{t}}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }){\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\end{array}$$

至此我们建立了质点曲线运动在极坐标下的运动方程，其速度、加速度都可以写成径向与切向两个分量的矢量和。

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更简洁的代数方法

事实上，由于$\mathbb{R}$上的任意二维线性空间与${\mathbb{R}}_2$同构，因此$x$轴与$y$轴的单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}$与${\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}$，以及径向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$与切向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}$，可以看做是${\mathbb{R}}_2$的两组基向量。那么上面的问题就可以简化为，如何将一个向量在一组基下的坐标，表示为另一组基下的坐标。由于径向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$与切向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}$是由单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}$与${\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}$逆时针旋转$\theta$后得到的，那么我们得到下面公式

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}\\ {\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}\\ {\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}\end{array}\right)={\mathbf{A}}^T\left(\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}\\ {\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}\end{array}\right)\end{array}$$

其中$\mathbf{A}$是转轴矩阵：

$$\begin{array}{c}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\end{array}$$

利用$(8)$式，我们可以非常容易得到在位矢在径向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$与切向单位矢量${\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}$这组基下的坐标：

位矢坐标：

$$\begin{array}{c}\mathbf{r}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

速度坐标：

$$\begin{array}{c}\mathbf{v}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta \\ \dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\dot{r}\\ r\dot{\theta }\end{array}\right)\end{array}$$

加速度坐标：

$$\begin{array}{c}\mathbf{a}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\cos \theta -(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\sin \theta \\ (\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\sin \theta +(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2\\ 2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }\end{array}\right)\end{array}$$

由此我们得到了相同的结论。

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圆周运动的情况

当质点做圆周运动时，位矢$\mathbf{r}=R{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$，其长度恒等于半径$R$，此时$\dot{r}=\ddot{r}=0$，因此我们可以改写$(6)$式和$(7)$式，得到质点在圆周运动下的速度和加速度

速度：
$$\begin{array}{c}\mathbf{v}={\mathbf{v}}_{\mathbf{r}}+{\mathbf{v}}_{\mathbf{t}}=R\dot{\theta }{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}=v{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\end{array}$$

因此圆周运动时质点只有切向速度，没有径向速度。我们定义角速率为$\omega =\dot{\theta }$，角速度的方向满足$\mathbf{v}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}$，则$(13)$式可以改写为
$$\begin{array}{c}\mathbf{v}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{r}=\omega R{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\end{array}$$

加速度：

$$\begin{array}{c}\mathbf{a}={\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+{\mathbf{a}}_{\mathbf{t}}=-R{\dot{\theta }}^2{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}+R\ddot{\theta }{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}=-{\omega }^{2}R{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}+\dot{\omega }R{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}=-\frac{v^2}{R}{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}+\dot{v}{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\end{array}$$

因此圆周运动时，质点既有切向加速度，也有径向加速度，径向加速度的方向指向圆心。

一般曲线运动的情况

设质点在曲线运动的某一点，对应的曲率半径为$\rho$，则方程$(13)$不变，$(15)$可以改写为：

$$\begin{array}{c}\mathbf{a}=-\frac{v^2}{\rho }{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}+\dot{v}{\mathbf{e}}_{\mathbf{t}}\end{array}$$

我们发现方程$(5),(13),(16)$并不依赖特定坐标系，因此被称为质点曲线运动的本性方程。